$\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{(1 - x)}^2}}}} $ का मान है

यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f'(x) = f(x)$ को संतुष्ट करता है और $f(0) = 1$ है,तथा $g(x)$ एक फलन है जो $f(x) + g(x) = x^2$ को संतुष्ट करता है। समाकलन $\int_0^1 f(x)g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x, t \in R$ के लिए,मान लीजिए $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ चर गुणांकों वाले $x$ में द्विघात बहुपदों का एक परिवार है। मान लीजिए $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. सभी $t$ के लिए $A(t) < 0$ है।
$II$. $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं।
$III$. अनंत $t$ के लिए $A(t) = 0$ है।
$IV$. सभी $t$ के लिए $A'(t) < 0$ है।

कथन $(A)$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$ अंतराल $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है।
कारण $(R)$: $\sin^6 x + \cos^6 x$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है।

यदि एक वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$[y]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $y$ से कम या उसके बराबर है,तो समाकलन $\int_{\pi /2}^{3\pi /2} [2\sin x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।